Синхронизация и коллективные эффекты в колебательных системах с шумом |
Денис С. Голдобин, к.ф.-м.н. |
1. История развития научного направленияСотрудники кафедры вовлечены в цикл работ, которые можно объединить под общим названием «Синхронизация и коллективные эффекты в колебательных системах с шумом». Задачи этого цикла очень близки с точки зрения теоретической физики и нелинейной динамики, а также требующегося математического аппарата. Однако, история развития этого направления была существенным образом определена прикладными задачами, чье разнообразие крайне велико. Что естественно, поскольку речь идет об универсальных эффектах в системах, для которых требуются лишь несколько особенностей: устойчивый режим периодических колебаний, шум (практически неустранимая особенность реальных систем) и, в некоторых случаях, слабая связь. Будет целесообразно подойти к описанию развития данного направления не столько с методологических позиций фундаментальной теории, сколько с точки зрения приложений, обуславливающих интерес к этому направлению.Среди иллюстрирующих прикладных примеров можно выделить: В такой системе существенно, что связь между системами создана непреднамеренно, а, скорее, является неизбежным дополнительным эффектом. Такая связь слаба и может приводить к синхронизации лишь слабо отличающихся колебательных систем (моторов). Вместе с тем, такие системы, действительно, очень слабо отличаются – в пределах допуска параметров производства. В такой ситуации существенным дополнительных десинхронизующим фактором, который индивидуален для систем, формирующих ансамбль, является внутренний шум. Таким образом, количественное описание и, как конечная цель, управление эффектами синхронизации вовлекает не только само универсальное нелинейное явление синхронизации, но и воздействие шума на систему. С точки зрения технических приложений, важно упомянуть, что аналогичный эффект синхронизации может возникать и за счет электрической связи для электрогенераторов или электродвигателей, включенных в общую электрическую сеть. В качестве любопытного примера можно привести историю с мостом Миллениум (Лондон), где невнимание конструкторов к демпфированию горизонтальной степени свободы моста привело к синхронизации шагов пешеходов и очень сильному горизонтальному раскачиванию конструкции (содержание раздела «История» по ссылке не вполне физически корректно, но эпизод описан; видео). В связи с активным развитием приложений, из последнего стоит выделить пункт Данная синхронизация считается ответственной за патологическую ритмическую мозговую активность при болезни Паркинсона, эссенциальном треморе, эпилепсии и некоторых других заболеваниях. Отдельно от предыдущих примеров, где синхронизация была обусловлена слабым взаимодействием похожих систем, стоит задача о синхронизации систем общим шумом (или иным нерегулярным сигналом). Здесь очень важен вопрос о синхронизации колебательной системы с управляющим шумовым (или сложным непериодическим) сигналом. Данный вопрос тривиален, когда мы имеем дело с периодическим воздействием, для которого синхронизация детектируется как совпадение частот колебаний и воздействия. В случае же шума, определенную частоту воздействия выделить нельзя, а отклик самой колебательной системы также не является строго периодическим из-за нерегулярного воздействия. Тем не менее, синхронизация может быть определена, если мы вместо одной системы, возьмем несколько идентичных систем и подвергнем их общему для всех шумовому воздействию. Если такие системы будут стремиться к идентичному поведению, независимо от начальных условий, можно говорить о том, что система синхронизуется с воздействием, если же состояния будут разбегаться – система не синхронизуется с шумовым воздействием. Данный вопрос в равной степени актуален, как для естественных наук, так и, например, в социологии, где не всегда можно распознать связь между различными важными наблюдаемыми психологическими эффектами и общественными процессами. Следует распознавать ситуации, когда есть большая корреляция между двумя процессами по причине того, что эти процессы взаимосвязаны, или по причине того, что они находятся под управлением третьего процесса, который и является причиной. Здесь особенно примечательно то, что для нерегулярного во времени управляющего процесса, временные корреляции между ним – «причиной» – и управляемыми процессами – «последствиями» – могут быть существенно меньше, чем между двумя управляемыми процессами. Под «надежностью» нейрона подразумевается способность давать один и тот же выходной сигнал при многократной подаче предварительно записанной реализации управляющего случайного сигнала. С теоретической точки зрения, данная задача тождественна задаче о синхронизации общим шумом, но в силу прикладных причин вылилась в отдельную область исследований. Важно отметить, что здесь актуален не только вопрос о синхронности поведения нейронов, подверженных общему шуму, но и вопрос о кодировании входных сигналов последовательность импульсов. Случай, когда такая последовательность уникальна для разных сигналов и, вместе с тем, воспроизводится похожими нейронами для одного и того же сигнала, открывает возможность быстрой обработки информации и, например, первичного сравнения образов с хранящимися в мозгу шаблонами. Для лазеров аналогичное свойство в литературе упоминается как «устойчивость» (Consistency). В биологии было неочевидно, что даже невзаимодействующие похожие осциллирующие системы могут демонстрировать синхронность, не демонстрируя при этом регулярности и легко измеримых корреляций с внешним воздействием. В качестве примера можно упомянуть динамику популяций диких овец на островах Hirta и Boreray. В силу ограниченности ресурсов (корма) и скорости их воспроизводства отдельная популяция существенно осциллирует на временном масштабе нескольких лет даже при постоянстве таких факторов, как температура, солнечная радиация и осадки. Эти осцилляции обусловлены тем, что при большой численности популяция съедает почти всю траву, а сильно уменьшившись, позволяет ей вырасти в изобилии. Если имеется два несвязанных острова, где внешние факторы идентичны и постоянны, динамика популяций будет похожа, но из-за внутренних шумов и неоднородностей, она будет несинхронна (возникнут сдвиги во времени между фазами колебательных циклов на двух островах). Но в реальности факторы непостоянны, а испытывают нерегулярные осцилляции, которые будут идентичны для обоих близлежащих островов, иными словами, являются общим шумом для осциллирующих популяций овец. Эти факторы имеют слабую корреляцию с колебаниями популяций, однако, они синхронизуют фазы этих колебаний, что и приводит к синхронной динамике двух популяций. 2. Современное состояние направленияВ настоящий момент времени прикладные задачи, связанные с синхронизацией и коллективными эффектами в ансамблях колебательных систем с шумом, интенсивно развиваются, опираясь на созданный теоретический базис. Однако, и сам базис еще не полностью завершен. В качестве примеров открытых или недавно адресованных/решенных вопросов мы ограничимся упоминанием тех, к которым работы кафедры имеют то или иное отношение:1. Построение аналитической теории синхронизации общим шумом.2. Подавление синхронных режимов в ансамблях осцилляторов с помощью запаздывающей обратной связи, в контексте необходимости устранения тремора у страдающих болезнью Паркинсона, эссенциональным тремором, эпилепсией и т.п.Здесь существенно, что существующие на данный момент технические решения аппаратов подавления синхронизации осуществляют непрерывную электрическую стимуляцию в соответствующей области мозга в независимости от того, начинается ли приступ в данный момент или нет, и не являются адаптивными. Т.е. чудовищны в плане своего воздействия на мозг, что, по-видимому, и объясняет высокий процент людей невосприимчивых к такой терапии, и очень высокий процент людей, теряющих восприимчивость через 1-2 года ношения аппарата. Использование же запаздывающей обратной связи означает практически исчезающее воздействие на мозг в отсутствии приступа (когда нейроны несинхронны и их суммарное поле исчезающее мало), но предотвращающее его начало. Технологии, опирающиеся на данную идею, находится на этапе разработки и внедрения, но еще не используются в широкой медицинской практике, что связано с обязательными большими временами тестирования и внедрения лечебных аппаратов такого типа («большие» подразумевает 5-10 лет).3. Использование запаздывающей обратной связи или линейных фильтров частот для регулирования когерентности колебаний – свойства систем, связанного с их предрасположенностью к синхронизации или, более широко, восприимчивостью к управлению.Теория [2], [3] подкреплена успешной экспериментальной реализацией [S. Boccaletti, E. Allaria, and R. Meucci, Phys. Rev. E 69, 066211 (2004)].4. Использование запаздывающей обратной связи или линейных фильтров частот для регулирования устойчивости отклика на шумовое воздействие (reliability); соотношение между когерентностью колебаний и устойчивостью отклика.3. Основные вехи и важнейшие результаты работ на кафедреРаботы, связанные с направлением «Синхронизация и коллективные эффекты в колебательных системах с шумом», начались на кафедре в 2001 году с успешного аналитического решения задачи о коллективных режимах в ансамблях параметрически возбуждаемых осцилляторов при беспорядке фаз параметрического воздействия [1].В свете известного метода Пирагаса стабилизации неустойчивых периодических режимов, совокупность которых формирует хаотическое поведение, с помощью запаздывающей обратной связи, встал вопрос о том, каково будет влияние на хаос слабой запаздывающей связи, величина которой существенно меньше необходимой для стабилизации неустойчивых режимов. Численный счет и развитая затем нами аналитическая теория выявили неожиданно сильный эффект. В системе Лоренца с помощью введения обратной связи можно добиться улучшения и/или ухудшения когерентности хаотических колебаний почти на два порядка, сохраняя при этом обратную связь настолько слабой, чтобы такие показатели, как средняя частота, показатель Ляпунова и фрактальные характеристики аттрактора менялись не более, чем на 2% [2], [3]. В тех же работах была построена аналитическая теория управления когерентностью осцилляторов с шумом посредством запаздывающей обратной связи; здесь эффект также может быть очень силен. Численный счет оказался в полном согласии с теорией. В начале 80х годов прошлого века Аркадий Пиковский впервые обратился к задаче о синхронизации или стохастизации осцилляторов шумовым воздействием (например, см. [А.С. Пиковский, Известия вузов. Радиофизика Т. 27, № 5, 576-581 (1984)]). В тех работах были сформулированы проблема и идеология подхода к ней, однако имевшиеся на тот момент аналитический аппарат и вычислительные возможности вынудили ограничиться рассмотрением задачи о слабо-нелинейном осцилляторе, подверженном действию импульсного шума. В 2003 мы совместно с А. Пиковским вернулись к данной теме: показали, что слабый шум всегда синхронизует «мягкие» автоколебательные системы («мягкие» подразумевает гладкость предельного цикла, что типично в природе), и вывели аналитические выражения для ведущего показателя Ляпунова в таких системах [4], [6]. В 2004 году была представлена теория синхронизации общим шумом для неидеальных систем и впервые представлена и обсуждена возможность десинхронизации умеренным шумом [5]. Важно, что для нейронов и нейроноподобных систем было принято предполагать только возможность синхронизации общим шумом (reliability). Более того, в соответствии с этой идеей ответственность за наблюдаемую в экспериментах асинхронность заведомо возлагалась на внутренние шумы, и делались соответствующие биофизические выводы. Нами же было предположено, что и для нейронных систем возможна упомянутая для обычных автоколебательных систем десинхронизация внешним воздействием (antireliability). В 2006 году нами была представлена аналитическая теория такой десинхронизации, а само явление было продемонстрировано в численном счете для моделей нейронов [8]. В 2004-2005 годах мы обращались к задачам о влиянии запаздывающей обратной связи на синхронизацию в ансамблях глобально связанных осцилляторов в контексте интереса к ее подавлению для ансамблей нейронов. В частности, рассматривалось влияние запаздывания на переход Курамото (синхронизация ансамбля) ([7] и глава 4 в диссертации [9]). Среди прочих примечательных результатов интересно отметить, что временное запаздывание нарушает характерные для классического перехода Курамото симметрии, в следствие чего изменяется классификация типов возможных в системе бифуркаций, ведущих к появлению синхронной моды. Когда теория синхронизации общим шумом была построена, возник вопрос о влиянии на нее запаздывающей обратной связи. Оказалось, что она является таким же хорошим инструментом регулирования устойчивости отклика, каким она была для когерентности. Вместе с тем, было обнаружено строгое количественное соотношение между этими величинами для осцилляторов со слабым шумом [10]. Это соотношение запрещает одновременное успешное улучшение когерентности и устойчивости (т.е. синхронности ансамбля). Напротив, улучшение когерентности колебаний элементов сопряжено с пропорциональной потерей синхронности колебаний, а улучшение синхронности – с пропорциональным ухудшением когерентности. Позже, совместно с группой Курамото (Yoshiki Kuramoto), исследователями из Института Наук о Мозге (Brain Science Institute, RIKEN, Japan) и главой группы математической биологии и нейронаук университета Питтсбурга, проф. Эрментроутом (G. Bard Ermentrout), были выполнены теоретические работы, позволившие радикально расширить не только качественную, но и количественную релевантность большинства описанных выше результатов, для реальных систем [11], [12]. В настоящий момент в системе Web of Science зарегистрировано 130 цитирований работ данного цикла. To update: An Uncertainty Principle for Ensembles of Oscillators Driven by Common Noise (2011) [13] Anharmonic resonances with recursive delay feedback (2011) [14] 4. Перспективы развития направленияПроцесс внедрения метода запаздывающей обратной связи для подавления патологической синхронизации нейронов в отдельных областях мозга не завершен. А потому остаются актуальными сопряженные с этой задачей вопросы оптимизации: максимизация универсальной надежности метода (т.е. достижение минимальной зависимости работоспособности метода от индивидуальных особенностей пациента) и минимизация влияния на мозг без потери универсальной надежности метода.В работах [11] и [12] существенно, что предельные циклы имеют положительные мультипликаторы. Это так для двумерных систем и очень вероятно для систем малой размерности, но ряд систем высокой размерности обладают отрицательными или комплексными мультипликаторами. В последнем случае, благодаря изменению топологии, возможны принципиально новые эффекты, вопрос об исследовании которых остается открытым. Показанное в работе [10] соотношение между когерентностью и устойчивостью, позволяет сделать предварительные выводы о весьма нетривиальной восприимчивости эффекта синхронизации в ансамблях осцилляторов к регулированию с помощью запаздывающей обратной связи. Причем, ситуации слабо-неидентичных осцилляторов и идентичных осцилляторов с дополнительным внутренним шумом будут отличаться. Дальнейшие перспективы развития критически зависят от результатов трех вышеперечисленных. 5. Лаборатории мирового уровня в России и за рубежом, работающие по сходной тематике (перечень неполон)6. Сотрудничество с внешними организациями, имеющееся и планыПоддерживаются контакты на конференциях и семинарах с представителями всех перечисленных центров. Совместные работы с последующими публикациями были и продолжаются со следующими рабочими группами:7. Потенциал и перспективы коммерциализации научных результатовОсобенности тематики работ таковы, что основная коммерциализация связана с техническими решениями на базе фундаментальных исследований, проводимых на кафедре по данному направлению, а не самими этими исследованиями. Более того, в случае с медицинскими приложениями продвижение технологий заведомо невозможно в форме предприятий малой и средней форм, а лишь на уровне корпораций (это связано с обязательными требованиями программ тестирования оборудования перед допуском на рынок и т.п.). Кроме того, в силу характера исследований, адекватное патентное закрепление фундаментальных результатов и идей за отдельными группами практически невозможно. Перспективы же коммерциализации в отрыве от кафедры и университета велики: в частности, для методов подавления патологической синхронизации они велики уже лишь по причине распространенности болезней, сопровождающихся тремором, и разрушительности для мозга технических решений, которые используются в нынешней медицинской практике.8. Внедрение в учебный процессНа данный момент некоторые фундаментальные результаты были выделены в несколько завершающих лекций курса «Нелинейные колебания и волны», в том виде, в каком он читался Д.С. Голдобиным в 2008-2009 учебном году студентам третьего курса Физического факультета, специальности «Физика».9. Библиография[1] D. Goldobin and A. Pikovsky, Collective modes in parametrically excited oscillator arrays, Europhys. Lett. Vol.59, n.2, 193-198 (2002).[2] D. Goldobin, M. Rosenblum, and A. Pikovsky, Controlling oscillator coherence by delayed feedback, Phys. Rev. E Vol.67, n.6, 061119 (2003). [3] D. Goldobin, M. Rosenblum, and A. Pikovsky, Controlling Coherence of Noisy and Chaotic Oscillators by Delayed Feedback, in Handbook of Chaos Control edited by E. Schoell and H.G. Schuster, 2nd Ed. (Wiley-VCH, Berlin, 2007), pp. 275-287. [4] Д.С. Голдобин, А.С. Пиковский, О синхронизации периодических автоколебаний общим шумом, Изв. Вузов. Радиофизика, Т.47, №10-11, 1013-1019 (2004); D.S. Goldobin and A.S. Pikovsky, Synchronization of self-sustained oscillators by common white noise, Physica A Vol.351, n.1, 126-132 (2005). [5] D.S. Goldobin and A. Pikovsky, Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise, Phys. Rev. E Vol.71, n.4, 045201(R) (2005). [6] D.S. Goldobin, Synchronization of Limit Cycle Oscillators by Telegraph Noise, in Unsolved Problems of Noise and Fluctuations: UPoN 2005, edited by L. Reggiani et al., AIP Conf. Proc. No. 800(1) (AIP, Melville, NY, 2005), pp. 394-399. [7] D.S. Goldobin and A. Pikovsky, Effects of delayed feedback on Kuramoto transition, Progr. Theor. Phys. Suppl. Vol.161, 43-52 (2006). [8] D.S. Goldobin and A. Pikovsky, Antireliability of noise-driven neurons, Phys. Rev. E Vol.73, n.6, 061906 (2006). [9] D.S. Goldobin, Coherence and Synchronization of Noisy-Driven Oscillators, PhD Dissertation (Potsdam, 2007). E-print [10] D.S. Goldobin, Coherence vs. Reliability of Stochastic Oscillators with Delayed Feedback, Phys. Rev. E Vol.78, n.6, 060104(R) (2008). [11] D.S. Goldobin, J.-N. Teramae, H. Nakao, and G.B. Ermentrout, Dynamics of Limit-Cycle Oscillator Subject to General Noise, Phys. Rev. Lett. Vol.105, 154101 (2010). [12] H. Nakao, J.-N. Teramae, D.S. Goldobin, and Y. Kuramoto, Effective long-time phase dynamics of limit-cycle oscillators driven by weak colored noise, Chaos Vol.20, n.3, 033126 (2010). [13] D.S. Goldobin, An Uncertainty Principle for Ensembles of Oscillators Driven by Common Noise, The European Physical Journal Special Topics Vol.223, 677-685 (2014). [14] D.S. Goldobin, Anharmonic resonances with recursive delay feedback, Physics Letters A Vol. 375, iss.39, 3410-3414 (2011). 10. Основная часть результатов работы по направлению может быть найдена в следующих визуальных материалах:[1] Презентация доклада D.S. Goldobin «Reliability and Coherence of Oscillators Subject to Noise» на семинаре Leicester Applied Math Seminar, 25 ноября, 2010.[2] Стендовый доклад D.S. Goldobin, A. Pikovsky, «Kuramoto Transition in Ensemble with Delayed Feedback» на Workshop "Complex Dynamics and Delay Effects in Coupled Systems", Berlin, Germany, 11-13 сентября, 2006. [3] Презентация доклада D.S. Goldobin, A. Pikovsky, «Intermittent Synchrony of Noise-Induced Bursts» на Международной конференции «Dynamics Days Europe 2006», Крит, Греция, 25-29 сентября, 2006. [4] Презентация доклада Д.С. Голдобин «Когерентность и устойчивость отклика автоколебательных систем с шумом при наличии линейной обратной связи» на 15-й Школе-конференции «Нелинейные волны – 2010», Н.Новгород, 6-12 марта, 2010. |